A. Pendahuluan
Beberapa contoh jenis bilangan dalam matematika, diantaranya adalah bilangan rasional dan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b , dengan b ≠ 0 . Contoh bilangan rasional adalah 3, 5, 8, dan seterusnya. Sedangkan bilangan irasional adalah sebuah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat, atau rasio dua bilangan bulat. Hasil dari akar merupakan bilangan irasional, karena tidak bisa dinyatakan dalam bentuk pecahan yang pembilang dan peyebutnya bilangan bulat.
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional
Coba perhatikan beberapa bentuk pangkat berikut:
42=16
33=27
Pada bentuk 42=16, dikatakan bahwa 4 adalah akar pangkat 2 dari 16 dan di tulis sebagai √(2&16) = 4 atau √16 = 4. Demikian pula bentuk 33=27, dikatakan bahwa 3 adalah akar pangkat 3dari 27 dan ditulis ∛(27 ) = 3.
Dengan demikian,
Jika a dan b adalah bilangan bulat dan an = b maka a adalah akar pangkat n dari b, ditulis a = √(n&b) dan di baca a adalah akar pangkat n dari b
1. Operasi Hitung Bentuk Akar
a). Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, maka berlaku hubungan berikut:
a√c+b√c=(a+b) √c
a√c-b√c=(a-b) √c
Perhatikan bahwa bentuk bentuk akar yang dijumlahkan sama, yaitu √c, itu merupakan syarat dua bentuk akar yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan menjadi bentuk yang lebih sederhana. Yang dioperasikan hanya koefisien dari bentuk akar tersebut.
Contoh Soal:
√5+ √20
Kunci : 3√5
5√7-2√7
Kunci : 3√7
√27- √75+ √48
Kunci : 2√3
b). Perkalian Bentuk Akar
√a× √b=a^(1/2) +b^(1/2)= √(a+b)
Contoh Soal :
√3 (√2-√4)
Kunci : √6-√12
4√2
Kunci : √32
(√3+√2)(√3-√2)
Kunci : 1
√(4a^3 b^2 )
Kunci : 2ab√a
c). Pemangkatan Bilangan Bentuk Akar
(〖√(p&a))〗^n
(〖√(p&a))〗^(-n)= 1/〖√(p&a)〗^n
〖(a+ √b)〗^2= a^2+2a√b+(〖√b)〗^2
〖(a- √b)〗^2= a^2-2a√b+(〖√b)〗^2
〖(√a+ √b)〗^2=a+2√(a×b) +b
〖(√a- √b)〗^2 =a-2√(a×b) +b
Contoh Soal:
∛81
Kunci : 3∛3
〖(√(2&13))〗^(-3)
Kunci : 1/〖√(2&13)〗^3
〖(2+ √2)〗^2
Kunci : 6+4√2
(√3-√5)^2
Kunci : -2-2√15
2. Sifat-Sifat Akar
Sifat-sifat bentuk akar antara lain sebagai berikut:
√(n&x) × √(n&y)= √(n&xy)
√(n&x)/√(n&y)= √(n&x/y)
Sedangkan hubungan antara bentuk akar dan bentuk pangkat pecahan dapat dinyatakan sebagai berikut:
Bentuk akar √(n&a^m ) dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat pecahan, yaitu a^(m/n)
Contoh Soal:
∛7/∛5
Kunci : ∛(7/5)
√(5&3^2 )
Kunci : 2/3^5
3. Merasionalkan Bentuk Akar
Bentuk a/√b
Dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebut dengan √b/√b
Bentuk a/(√b+ c)
Dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan a/(√b+ c) dengan (√b-c)/(√b- c)
Bentuk a/(b√c+ √d)
Dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebut dengan (b√c-√d)/(b√c- √d)
Contoh Soal :
4/√3
Kunci : 4/3 √3
7/(√5+ 9)
Kunci :- (7(√5-9))/76
1/(2√5- √(3 ))
Kunci : (2√5+√3)/17
B. Latihan Soal
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan dari bentuk akar berikut
1. 10√(2 )+√2- 4√2
Kunci : 7√2
2. √48- (√27+√12)
Kunci : -√3
3. √54+ √24
Kunci : 5√6
4. √8- √32
Kunci : -2√2
Hitunglah perkalian bentuk akar berikut
5. (√2+3)(√2-1)
Kunci : -1+2√2
6. (2√3+√2)(√3-2√2)
Kunci : 2-3√6
7. √2 (2√2-1)
Kunci : 4-√2
Tentukan hasil dari bentuk akar berikut
8. 〖(2√5+√3)〗^2
Kunci : 23+4√15
9. 〖(∛(7 ))〗^(-2)
Kunci : 1/〖∛7〗^2
Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut
10. 4√(75a^5 b)
Kunci : 20a^(2 ) √3ab
11. √((a^3 b^2)/(c^2 d^4 ))
Kunci : (ab√a)/(cd^2 )
12. ∛(-24)
Kunci : -2∛3
Rasionalkan bentuk-bentuk akar berikut
13. ∛(u^3/2v)
Kunci : u/2v ∛(4v^2 )
14. 4 √((3x^2)/5y)
Kunci : 4x/5y √15y
15. (5√5)/(3√6)
Kunci : 5/18 √30
16. 5/(5√(5 ) +√7)
Kunci : 5/118(5√(5 )-√7
Beberapa contoh jenis bilangan dalam matematika, diantaranya adalah bilangan rasional dan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b , dengan b ≠ 0 . Contoh bilangan rasional adalah 3, 5, 8, dan seterusnya. Sedangkan bilangan irasional adalah sebuah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat, atau rasio dua bilangan bulat. Hasil dari akar merupakan bilangan irasional, karena tidak bisa dinyatakan dalam bentuk pecahan yang pembilang dan peyebutnya bilangan bulat.
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional
Coba perhatikan beberapa bentuk pangkat berikut:
42=16
33=27
Pada bentuk 42=16, dikatakan bahwa 4 adalah akar pangkat 2 dari 16 dan di tulis sebagai √(2&16) = 4 atau √16 = 4. Demikian pula bentuk 33=27, dikatakan bahwa 3 adalah akar pangkat 3dari 27 dan ditulis ∛(27 ) = 3.
Dengan demikian,
Jika a dan b adalah bilangan bulat dan an = b maka a adalah akar pangkat n dari b, ditulis a = √(n&b) dan di baca a adalah akar pangkat n dari b
1. Operasi Hitung Bentuk Akar
a). Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, maka berlaku hubungan berikut:
a√c+b√c=(a+b) √c
a√c-b√c=(a-b) √c
Perhatikan bahwa bentuk bentuk akar yang dijumlahkan sama, yaitu √c, itu merupakan syarat dua bentuk akar yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan menjadi bentuk yang lebih sederhana. Yang dioperasikan hanya koefisien dari bentuk akar tersebut.
Contoh Soal:
√5+ √20
Kunci : 3√5
5√7-2√7
Kunci : 3√7
√27- √75+ √48
Kunci : 2√3
b). Perkalian Bentuk Akar
√a× √b=a^(1/2) +b^(1/2)= √(a+b)
Contoh Soal :
√3 (√2-√4)
Kunci : √6-√12
4√2
Kunci : √32
(√3+√2)(√3-√2)
Kunci : 1
√(4a^3 b^2 )
Kunci : 2ab√a
c). Pemangkatan Bilangan Bentuk Akar
(〖√(p&a))〗^n
(〖√(p&a))〗^(-n)= 1/〖√(p&a)〗^n
〖(a+ √b)〗^2= a^2+2a√b+(〖√b)〗^2
〖(a- √b)〗^2= a^2-2a√b+(〖√b)〗^2
〖(√a+ √b)〗^2=a+2√(a×b) +b
〖(√a- √b)〗^2 =a-2√(a×b) +b
Contoh Soal:
∛81
Kunci : 3∛3
〖(√(2&13))〗^(-3)
Kunci : 1/〖√(2&13)〗^3
〖(2+ √2)〗^2
Kunci : 6+4√2
(√3-√5)^2
Kunci : -2-2√15
2. Sifat-Sifat Akar
Sifat-sifat bentuk akar antara lain sebagai berikut:
√(n&x) × √(n&y)= √(n&xy)
√(n&x)/√(n&y)= √(n&x/y)
Sedangkan hubungan antara bentuk akar dan bentuk pangkat pecahan dapat dinyatakan sebagai berikut:
Bentuk akar √(n&a^m ) dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat pecahan, yaitu a^(m/n)
Contoh Soal:
∛7/∛5
Kunci : ∛(7/5)
√(5&3^2 )
Kunci : 2/3^5
3. Merasionalkan Bentuk Akar
Bentuk a/√b
Dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebut dengan √b/√b
Bentuk a/(√b+ c)
Dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan a/(√b+ c) dengan (√b-c)/(√b- c)
Bentuk a/(b√c+ √d)
Dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebut dengan (b√c-√d)/(b√c- √d)
Contoh Soal :
4/√3
Kunci : 4/3 √3
7/(√5+ 9)
Kunci :- (7(√5-9))/76
1/(2√5- √(3 ))
Kunci : (2√5+√3)/17
B. Latihan Soal
Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan dari bentuk akar berikut
1. 10√(2 )+√2- 4√2
Kunci : 7√2
2. √48- (√27+√12)
Kunci : -√3
3. √54+ √24
Kunci : 5√6
4. √8- √32
Kunci : -2√2
Hitunglah perkalian bentuk akar berikut
5. (√2+3)(√2-1)
Kunci : -1+2√2
6. (2√3+√2)(√3-2√2)
Kunci : 2-3√6
7. √2 (2√2-1)
Kunci : 4-√2
Tentukan hasil dari bentuk akar berikut
8. 〖(2√5+√3)〗^2
Kunci : 23+4√15
9. 〖(∛(7 ))〗^(-2)
Kunci : 1/〖∛7〗^2
Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut
10. 4√(75a^5 b)
Kunci : 20a^(2 ) √3ab
11. √((a^3 b^2)/(c^2 d^4 ))
Kunci : (ab√a)/(cd^2 )
12. ∛(-24)
Kunci : -2∛3
Rasionalkan bentuk-bentuk akar berikut
13. ∛(u^3/2v)
Kunci : u/2v ∛(4v^2 )
14. 4 √((3x^2)/5y)
Kunci : 4x/5y √15y
15. (5√5)/(3√6)
Kunci : 5/18 √30
16. 5/(5√(5 ) +√7)
Kunci : 5/118(5√(5 )-√7
BENTUK AKAR